Urodził się 31 sierpnia 1890 r. w Kielcach, jako syn dyrektora banku. Za działalność patriotyczną i udział w strajku szkolnym w 1905 r. został wydalony z gimnazjum z „wilczym biletem” i maturę zdał jako ekstern. Następnie rozpoczął studia medyczne na Uniwersytecie Stefana Batorego w Wilnie, które ukończył w 1916 r. z tytułem lekarza. Specjalizował się w chorobach skórnych i wenerycznych.
Po odzyskaniu przez Polskę niepodległości osiadł w Częstochowie, gdzie w 1919 r. objął stanowisko miejskiego lekarza sanitarnego i kierownika Urzędu Zdrowia Publicznego. Utworzył tu szpital weneryczny dla mężczyzn, kierował też miejską komisją zdrowia. Brał udział w organizacji opieki medycznej w czasie epidemii grypy hiszpanki. Pełnił funkcję naczelnego lekarza Powiatowej Kasy Chorych. Dzięki jego zaangażowaniu powstał gmach szpitala, obecnie im. dr W. Biegańskiego. W latach 1923–1927 i 1929 był prezesem oddziału częstochowskiego Polskiego Czerwonego Krzyża.
W 1930 r. Purski przeniósł się do Warszawy i objął stanowisko inspektora lecznictwa Kas Chorych, a w 1933 r. został zastępcą naczelnego lekarza Powiatowej Kasy Chorych. Do wybuchu wojny pracował też w Ubezpieczalni Społecznej w Warszawie jako zastępca lekarza naczelnego.
W lipcu 1939 r. doktor Purski zorganizował dla grupy ochotników z Podkowy kurs ratownictwa sanitarnego. Kurs obejmował wykłady i zajęcia praktyczne z zakresu pierwszej pomocy, na wypadek wojny. Na tej podstawie w mieście powstało koło PCK. Na początku września jego członkowie stworzyli pełnowartościową pomoc lekarską, organizując ambulatorium, a na przełomie października i listopada założony został punkt szpitalny PCK w willi Wilhelma Kretera przy ulicy Modrzewiowej 33.
W szpitalu ukrywani byli ranni oficerowie Wojska Polskiego. Kierowali nim doktor Stefan Purski i Maria Uzarowicz.
W 1941 roku doktor Purski został mianowany przez władze gminy lekarzem gminnym. Jednocześnie pełnił funkcję lekarza Elektrycznych Kolei Dojazdowych.
Uratował wiele osób od wywiezienia do Niemiec, a w 1944 r. od pracy przy kopaniu rowów obronnych w lesie Młochowskim. Uczestniczył w pracach Rady Głównej Opiekuńczej na naszym terenie, udzielał pomocy lekarskiej rannym i chorym z Powstania Warszawskiego.
Punkt lekarski został po wojnie przekształcony w Ośrodek Zdrowia, mieszczący się na rogu alei Lipowej i ulicy Orzechowej, w którym doktor Purski pracował aż do śmierci.
Przez znajomych określany był jako urodzony gawędziarz, z dużym poczuciem humoru i pogodą ducha. Dynamiczny i ruchliwy pyknik, niezmiennie aktywny i pozytywnie nastawiony do innych. „Oddany bez reszty swojej pracy i swoim pacjentom, w dzień i w nocy spieszył z pomocą wszystkim, którzy go potrzebowali. Podczas mroźnej zimy w 1954 r., nie zważając na własną chorobę, dalej pracował” – wspominał dr Eugeniusz Grzędziński.
Zmarł w Podkowie Leśnej 5 lutego 1954 r. Trumnę przewieziono na odkrytej platformie kolejowej do Grodziska Mazowieckiego, gdzie w pogrzebie doktora Purskiego wzięły udział tłumy ludzi – jego znajomych i pacjentów.