Był synem Józefa Zawadzkiego i Stanisławy z Draców. Urodził się 20 listopada 1893 r. w Warszawie. W 1911 r. ukończył szkołę Wojciecha Górskiego, a później gimnazjum w Orle. W 1912 r. rozpoczął studia na wydziale lekarskim w Kijowie, które kontynuował na Uniwersytecie Warszawskim. Dyplom z uprawnieniami do praktyki lekarskiej otrzymał w 1922 r.
Od 15 października 1915 do sierpnia 1920 r. pracował jako demonstrator etatowy, a później asystent przy Zakładzie Mikrobiologii i Serologii w Warszawie. „W ciągu 6-letniej pracy w Zakładzie dr Ludwik Zawadzki wyspecjalizował się w metodach pracy i badania bakteriologicznego i serologicznego i jako asystent objął, po opuszczeniu Zakładu, stanowisko kierownika pracowni bakteriologicznej w Szpitalu Przemienienia Pańskiego […]. Spełniał swoje obowiązki pilnie i sumiennie, zasłużył sobie zupełnie na uznanie moje jako kierownika” – pisał o nim jeden z twórców polskiej szkoły serologii i bakteriologii prof. Roman Nitsch.
Wojnę polsko-bolszewicką Ludwik Zawadzki rozpoczął 1 sierpnia 1920 r. jako szeregowiec, pracując w punkcie opatrunkowym na Dworcu Wileńskim. Miesiąc później był już podporucznikiem w pułku piechoty 14 Dywizji Wielkopolskiej, a potem w szpitalach wojskowych w Piotrkowie i Kielcach.
Po wojnie 1920 r. pracował w Zakładzie Bakteriologii i Serologii jako asystent. W 1933 r. objął z konkursu kierownictwo Centralnego Laboratorium Ubezpieczalni Społecznej. W tym samym roku został kierownikiem laboratorium w II Klinice Chorób Kobiecych Wydziału Lekarskiego Uniwersytetu Warszawskiego.
W 1921 r. ożenił się z Ireną Groszewską asystentką laborantką. Zamieszkali w Warszawie przy ulicy Mazowieckiej 6, w mieszkaniu matki Ludwika. Kiedy urodzili się dwaj synowie, Jerzy i Stefan, kupili dom w Miedzeszynie, ale szukali miejsca lepiej skomunikowanego z Warszawą, Podkowa okazała się idealna. W 1936 r. przeprowadzili się do willi „Zawada” przy ul. Wschodniej 15, zaprojektowanej przez Tadeusza Ginettiego w stylu modernistycznym. Rok później dokupili dwie sąsiednie działki. Ogród założył im miejscowy ogrodnik Władysław Milewski.
Ludwik Zawadzki należał też do Warszawskiego Towarzystwa Cyklistów i Automobilklubu Polski. Uczestniczył w rajdach samochodowych i wyścigach motorowych. Wspólnie z żoną zwiedzali Europę na motorze (żona w przyczepie koszu). Kupił mercedesa, ale do pracy dojeżdżał kolejką. W listopadzie 1936 r. w wypadku w okolicach stacji Warszawa Szczęśliwice, gdzie kolejka EKD zderzyła się z pociągiem linii Warszawa–Radom, ranni zostali obaj synowie dr Zawadzkiego.
Okupację przeżył z rodziną w Podkowie, pracując nadal w Centralnym Laboratorium Ubezpieczalni Społecznej. W 1941 r. został stąd usunięty przez zarząd niemiecki. Do 1944 r. kierował pracownią analityczną Szpitala Przemienienia Pańskiego w Warszawie. Obaj synowie należeli do Armii Krajowej.
Po wojnie Ludwik Zawadzki został kierownikiem pracowni bakteriologicznej Szpitala Przemienienia Pańskiego i podobnej pracowni Szpitala Zakaźnego przy ul. Chocimskiej 5 (do 1951). Następnie był pracownikiem naukowym i kierownikiem laboratorium w II Klinice Położniczo-Ginekologicznej Akademii Medycznej w Warszawie, pracował też nadal w Szpitalu Praskim. Na emeryturę przeszedł w 1957 r. W Podkowie prowadził laboratorium, wykonując analizy, miał też prywatną praktykę.
Po wojnie „Zawadę” objęto kwaterunkiem, na parterze zamieszkały dwie rodziny, Leokadia z Ludwikiem zajęli piętro. Syn Jerzy założył rodzinę i się wyprowadził, drugi z synów zginął w wypadku motocyklowym. W 1956 r., po wyeksmitowaniu lokatorów, parter domu został sprzedany. W 1960 r. samochód, którym jechali Leokadia i Ludwik, wywrócił się do rowu. Zawadzki wyszedł z tego bez szwanku, żona straciła życie. Po wypadku doktor sprzedał „Zawadę” i przeniósł się do Brwinowa na ul. Kępińską. Po pewnym czasie ożenił się z Anną Czarnkowską.
Zmarł 15 listopada 1972 r., pochowany został w grobie rodzinnym na Powązkach.