Urodził się 15 lipca 1888 r. w Warszawie. Był synem krawca Aleksandra Zborowskiego i Wandy Michałowskiej. Uczęszczał do III gimnazjum rosyjskiego, a po strajku szkolnym w 1905 r., w którym brał udział, do Gimnazjum im. gen. Pawła Chrzanowskiego z językiem polskim jako wykładowym i tam zdał maturę. W latach 1909–1914 studiował architekturę na Politechnice Lwowskiej. Po powrocie do Warszawy pracował przy inwentaryzacji Zamku Królewskiego, będącym wówczas pod pieczą Towarzystwa Opieki nad Zabytkami Przeszłości. Dyplom inżyniera architekta otrzymał w 1923 r. na Politechnice Warszawskiej, gdzie pracował jako starszy asystent prof. Oskara Sosnowskiego. W tym samym roku był współzałożycielem, obok prof. Sosnowskiego, Towarzystwa Urbanistów Polskich. Od 1918 r. wykładał rysunek na kursach nauczycielskich oraz perspektywę wykreślną i sztukę ludową w Szkole Sztuk Pięknych, od 1932 r. Akademii Sztuk Pięknych w Warszawie.
Projektował architekturę zarówno sakralną, jak i świecką. Jeszcze przed dyplomem, w 1917 r. zdobył i nagrodę w konkursie na projekt kapliczki upamiętniającej bitwę pod Ostrołęką. w 1928 r. społecznie zaprojektował kaplicę pw. Matki Boskiej Zwycięskiej w Ossowie przy Cmentarzu Poległych w Bitwie Warszawskiej 1920 r. (w latach 80. rozbudowaną). Do najbardziej znanych jego realizacji z okresu 1924–1932 należą projekty domów mieszkalnych i budynków użyteczności publicznej (kotłownia, pralnia, sala teatralno-koncertowa) w osiedlu Warszawskiej Spółdzielni Mieszkaniowej na Żoliborzu. Dla Funduszu Kwaterunku Wojskowego na terenie całego kraju projektował domy oficerskie i budynki koszar. W latach 1935–1938 kierował przywróceniem budynkowi Arsenału przy ul. Długiej XVII-wiecznej, barokowej formy, powojenną odbudowę gmachu także prowadzono pod jego kierunkiem. Wśród licznych obiektów sakralnych jego autorstwa wymienić należy m.in.: kościół Najświętszego Serca Jezusowego w Imielinie k. Płocka, kościół parafialny pw. św. Jana Bosco w Sokołowie Podlaskim, kościół w Syberii k. Żuromina.
Podczas II wojny Zborowski prowadził zajęcia z budownictwa oraz projektowania w Żeńskiej Szkole Architektury im. Stanisława Noakowskiego. Wykładał w Tajnej Szkole Architektury. Był żołnierzem AK. W Powstaniu Warszawskim polegli jego dwaj synowie: na Woli – Krzysztof (ur. 1923 r.), na Starym Mieście – Janusz (ur. 1926 r.). Żona Matylda z domu Szymańska oraz teściowa Lucyna Szymańska zostały zamordowane przez Niemców 5 sierpnia 1944 r. w egzekucji na Ochocie. Ożenił się powtórnie, z Zofią Jałowiecką.
Po wojnie pracował w Biurze Odbudowy Stolicy, potem w Urzędzie Konserwatorskim m.st. Warszawy, a od 1950 r. w Ministerstwie Kultury i Sztuki – najpierw na stanowisku starszego konserwatora, następnie – zastępcy kierownika Wydziału Zabytków Architektury i Urbanistyki. Jest współautorem opracowania Zabezpieczenie kościołów zabytkowych w Warszawie w latach 1945–1946; w „Biuletynie Historii Sztuki i Kultury” w 1947 r. zamieścił wykaz zniszczonych obiektów, a także Studia nad uporządkowaniem dzielnic zabytkowych Warszawy. Jednocześnie w latach 1948–1951 na Wydziale Architektury Politechniki prowadził wykłady z konserwacji zabytków. W latach 1945–1953 pod jego kierunkiem odbudowano m.in. kościół św. Krzyża przy Krakowskim Przedmieściu i XVII-wieczny zespół klasztorny oo. dominikanów przy ul. Freta. W 1947 r. Społeczny Komitet Budowy Kościoła w Komorowie zlecił Zborowskiemu wykonanie projektu. Zamówiono go u niego już w 1936 r., ale dopiero po wojnie mógł być zrealizowany. W swoim założeniu kościół, podobnie jak w Podkowie Leśnej, miał tworzyć całość z otaczającą zielenią i placem. Budowę kościoła pw. Narodzenia NMP ukończono w 1958 r. w zmienionym kształcie.
W kwietniu 1957 r. Bruno Zborowski powrócił do pracy architekta. Był członkiem m.in. Polskiego Towarzystwa Architektów (przed 1934), Oddziału Warszawskiego SARP (po 1934), Zarządu Oddziału Warszawskiego Stowarzyszenia Historyków Sztuki. Odznaczony został m.in. Złotym Krzyżem Zasługi (1955) i Krzyżem Kawalerskim Orderu Odrodzenia Polski (1979).
Zmarł 27 sierpnia 1983 r. Pochowany jest na Cmentarzu Powązkowskim w Warszawie.