Urodził się 22 maja 1893 r. w Warszawie. Był synem Felicji z Wierników i Ludwika Knastera (1868–1947), znanego lekarza internisty, wieloletniego ordynatora kliniki terapeutycznej Szpitala im. Dzieciątka Jezus w Warszawie, prezesa Zrzeszenia Lekarzy.
Po maturze studiował w Paryżu medycynę i nauki przyrodnicze. Tam poznał aktorkę Marię Morską (właśc. Anna Frenkiel). Pobrali się w kraju latem 1914 r. Wybuch wielkiej wojny spowodował, że Bronisław Knaster nie wrócił już na Sorbonę. Podjął studia matematyczne na Uniwersytecie Warszawskim. W latach 1916–1918 należał do Polskiej Organizacji Wojskowej, a w czasie wojny polsko-sowieckiej zgłosił się na ochotnika i służył jako lekarz polowy.
W okresie jego studiów zaczęła się kształtować „warszawska szkoła matematyczna” i z nią właśnie związał swoją pracę naukową. Zajmował się topologią i teorią mnogości. Był jednym z pierwszych doktorów wypromowanych na UW, pełnił funkcję sekretarza Zarządu Głównego Polskiego Towarzystwa Matematycznego, brał udział w międzynarodowych kongresach matematycznych.
Jak pisze jego biograf, Roman Duda: „ulubionym przyzwyczajeniem Knastera w latach trzydziestych były długie wieczorne spacery, w czasie których lubił prowadzić namiętne spory o matematyce i nie tylko o matematyce. Wybitna muzykalność i duża kultura muzyczna, dobre oczytanie literackie, znajomość świata, będąca wynikiem jego wieloletnich pobytów za granicą, a przede wszystkim żywy umysł i giętki język sprawiały, że kontakty z nim działały ożywczo i pobudzająco. Przez żonę Marię trafił do kręgów skamandryckich, dzięki zaś wrodzonemu dowcipowi i inteligencji oraz umiłowaniu żywego i celnego słowa markę miał wysoką. Kontakty ze Słonimskim, Tuwimem, Wittlinem i innymi trwały jeszcze długo, mimo rozproszenia tych ludzi po świecie”.
Na początku wojny Maria i Bronisław uciekli do Lwowa. W latach 1939–1941 Knaster był profesorem na Uniwersytecie im. Iwana Franki (do 1940 r. Uniwersytet Lwowski im. Jana Kazimierza). Podczas okupacji niemieckiej legitymowali się fałszywymi dokumentami. On był karmicielem wszy w Instytucie Badań nad Tyfusem Plamistym i Wirusami, ona starała się pomagać ukrywającym się Żydom. Mieszkali cały czas w jednym pokoju z bliskim przyjacielem Marii, lekarzem Hermanem Rubinrautem.
Po wojnie i tragicznej śmierci żony (1945) Knaster osiadł we Wrocławiu, gdzie objął katedrę na połączonym Uniwersytecie i Politechnice (potem Uniwersytecie). Kontynuował pracę naukową, współtworzył Państwowy Instytut Matematyczny (później Instytut Matematyczny PAN). Ożenił się powtórnie, z Reginą Szpalerską, podobnie jak on owdowiałą, bliską znajomą z okresu warszawskiego (mieszkali w tej samej kamienicy przy ul. Narbutta). Poniemiecką willę na wrocławskim Biskupinie dzielił z innym wybitnym matematykiem, Hugo Steinhausem. Po warszawskiej i lwowskiej, powstała kolejna, tym razem wrocławska, szkoła matematyczna.
Bronisław Knaster zmarł 3 listopada 1980 r. we Wrocławiu.